\subsection{弦切角}\label{subsec:czjh2-7-11}

顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做\zhongdian{弦切角}。
图 \ref{fig:czjh2-7-41} 甲、乙、丙中，$\angle BAC$ 是弦切角。
弦切角也可以看作圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时所成的角。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{4.5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-41-a}
        \caption*{甲}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{4.7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-41-b}
        \caption*{乙}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{4.5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-41-c}
        \caption*{丙}
    \end{minipage}
    \caption{}\label{fig:czjh2-7-41}
\end{figure}

\begin{dingli}[弦切角定理]
    弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
\end{dingli}

已知： $AC$ 是 $\yuan\,O$ 的弦，$AB$ 是 $\yuan\,O$ 的切线，
$\yuanhu{AmC}$ 是弦切角 $\angle BAC$ 所夹的弧，
$\angle P$ 是 $\yuanhu{AmC}$ 所对的圆周角（图 \ref{fig:czjh2-7-41}）。

求证： $\angle BAC = \angle APC$。

证明：分三种情况讨论。

（1） 圆心 $O$ 在 $\angle BAC$ 的边 $AC$ 上（图 \ref{fig:czjh2-7-41} 甲）。

$\because$ \quad $AB$ 是 $\yuan\,O$ 的切线，

$\therefore$ \quad $\angle BAC = 90^\circ$。

又 $\because$ \quad $\yuanhu{AmC}$ 是半圆，

$\therefore$ \quad $\angle P = 90^\circ$。

$\therefore$ \quad $\angle BAC = \angle P$。

（2） 圆心 $O$ 在 $\angle BAC$ 的外部（图 \ref{fig:czjh2-7-41} 乙）。

作 $\yuan\,O$ 的直径 $AQ$，连结 $CQ$。

$\because$ \quad $\angle BAQ = \angle ACQ = 90^\circ$，

$\therefore$ \quad $\angle BAC = 90^\circ - \angle 1$， $\angle Q = 90^\circ - 1$。

$\therefore$ \quad $\angle BAC = \angle Q$。

又 $\because$ \quad $\angle Q = \angle P$，

$\therefore$ \quad $\angle BAC = \angle P$。

（3） 圆心 $O$ 在 $\angle BAC$ 的内部（图 \ref{fig:czjh2-7-41} 丙）。

作 $\yuan\,O$ 的直径 $AQ$，连结 $CQ$。

$\because$ \quad $\angle BAC = 180^\circ - \angle DAC$， $\angle P = 180^\circ - \angle Q$，

又由 （2） 可知， $\angle DAC = \angle Q$，

$\therefore$ \quad $\angle BAC = \angle P$。

\begin{tuilun}[推论]
    两个弦切角所夹的弧相等，这两个弦切角也相等。
\end{tuilun}

\begin{wrapfigure}[5]{r}{6.8cm}
    \centering
    \input{../pic/czjh2-ch7-42}
    \caption{}\label{fig:czjh2-7-42}
\end{wrapfigure}

\liti 已知： 如图 \ref{fig:czjh2-7-42}， $\yuan\,O$ 和 $\yuan\,O'$ 相交于 $A$、$B$ 两点，
$AC$ 是 $\yuan\,O'$ 的切线，交 $\yuan\,O$ 于点 $C$，
$AD$ 是 $\yuan\,O$  的切线，交 $\yuan\,O'$ 于点 $D$。

求证：$AB^2 = BC \cdot BD$。

\begin{enhancedline}
\zhengming $\because$ \quad $\angle C = \angle 1$， $\angle 2 = \angle D$，

$\therefore$ \quad $\triangle ACB \xiangsi \triangle DAB$。

$\therefore$ \quad $\dfrac{BC}{AB} = \dfrac{AB}{BD}$。

$\therefore$ \quad $AB^2 = BC \cdot BD$。
\end{enhancedline}

\begin{lianxi}

\xiaoti{如图，经过 $\yuan\,O$ 上的点 $T$ 的切线和弦 $AB$ 的延长线相交于点 $C$。
    求证：$\angle ATC = \angle TBC$。
}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-subsec11-lx1-01}
        \caption*{（第 1 题）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-subsec11-lx1-02}
        \caption*{（第 2 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}

\xiaoti{如图，$AB$ 是 $\yuan\,O$ 的弦， $CD$ 是经过 $\yuan\,O$ 上一点 $M$ 的切线。求证：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{$AB \pingxing CD$ 时， $AM = MB$；}

    \xxt{$AM = MB$ 时，$AB \pingxing CD$。}
\end{xiaoxiaotis}

\end{lianxi}


因为弦切角和它夹的弧所对的圆周角相等，所以我们可以利用这个关系作含圆周角等于已知角的弧。


\begin{wrapfigure}[9]{r}{6cm}
    \centering
    \input{../pic/czjh2-ch7-43}
    \caption{}\label{fig:czjh2-7-43}
\end{wrapfigure}

\liti \zhongdian{在已知线段上作弧，使它所含的圆周角等于已知角。}

已知： 线段 $AB$、$\angle \alpha$ （图 \ref{fig:czjh2-7-43}）。

求作： 以 $AB$ 为弦的圆弧， 使弧所含的圆周角等干 $\angle \alpha$。

分析：作弧的关键在于确定它的圆心的位置。

如图，因为 $AB$ 是 $\yuanhu{AmB}$ 所对的弦，弧要经过 $A$、$B$ 两点，
所以圆心 $O$ 必在线段 $AB$ 的垂直平分线 $MN$ 上。

设 $BD$ 是经过点 $B$ 的 $\yuan\,O$ 的切线。
因为弦切角 $\angle ABD$ 等于 $\yuanhu{AmB}$ 所含的圆周角 $\angle APB$，
所以 $\angle ABD$ 必须等于 $\angle \alpha$，
而圆心 $O$ 必在经过点 $B$ 并且垂直于 $BD$ 的直线 $BE$ 上。
因此，圆心就是这两条直线的交点。

\zuofa 1. 作线段 $AB$ 的垂直平分线 $MN$。

2. 过点 $B$ 作射线 $BD$， 使 $\angle ABD = \angle \alpha$。

3. 过点 $B$ 作 $BD$ 的垂线 $BE$ 交 $MN$ 于点 $O$。

4. 以 $O$ 为圆心， $OA$ 为半径， 在 $\angle ABD$ 的外部作 $\yuanhu{AmB}$。
$\yuanhu{AmB}$ 就是所求的弧。

证明略。

因为，过点 $B$ 与 $BA$ 成 $\angle \alpha$ 的射线可以作出两条，
所以，所求的弧可以作出两条（分别在直线 $AB$ 的两旁）。


\begin{lianxi}

\xiaoti{取线段 $AB = 3$ cm。 在 $AB$ 上作弧，使它所含的圆周角等于 $45^\circ$。}

\xiaoti{在线段 $AB$ 上作含 $90^\circ$ 的圆周角的弧得到什么图形？}

\end{lianxi}

